PENYELESAIAN PERSAMAAN NON-LINEAR METODE BISEKSI DAN METODE REGULA FALSI MENGGUNAKAN CARA KOMPUTASI(lengkap sampai daftar pustaka)
BAB I
PENDAHULUAN
A.
Latar Belakang
Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam
berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia,
ekonomi, atau pada persoalan rekayasa (engineering), seperti Teknik
Sipil, Teknik Mesin, Elektro dan sebagainya. Seringkali model matematika tersebut muncul dalam
bentuk yang tidak ideal atau sulit untuk dikerjakan secara analitik untuk mendapatkan solusi sejatinya (exact solution). Yang
dimaksud dengan metode analitik adalah metode penyelesaian model matematika
dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku atau lazim digunakan.
Sebagai ilustrasi, diberikan beberapa
contoh berikut ini :
1. Penyelesaian akar-akar persamaan polinom :
23,4x7 – 1,25x6 + 120x4 + 15x3
- 120x2 - x + 100 = 0
2. Pencarian harga x yang memenuhi
persamaan:
3. Penyelesaian sistem persamaaan linear :
1,2a
- 3b - 12c + 12d + 4,8e – 5,5f + 100g = 18
0,9a
+ 3b - c + 16d + 8e - 5f - 10g = 17
4,6a
+ 3b - 6c - 2d + 4e + 6,5f - 13g = 19
|
2,2a
+ 3b + 17c + 6d + 12e – 7,5f + 18g = 9
5,9a
+ 3b + 11c + 9d - 5e - 25f - 10g = 0
1,6a
+ 3b + 1,8c + 12d -7e +2,5f + g =-5
(Susy, 2006 : 1-2)
Setelah melihat beberapa contoh ilustrasi di atas, kemungkinan besar
cara analitik tidak dapat digunakan. Untuk polinom berderajat 2, masih bisa
dicari akarnya menggunakan rumus abc yang sudah terkenal, yaitu :
Namun,
untuk polinom yang berderajat lebih besar dari 2, tidak ada rumus aljabar untuk
menghitung akar polinom tersebut. Alternatifnya adalah dengan memanipulasi
polinom, misalnya dengan pemfaktoran atau menguraikan polinom tersebut menjadi
perkalian beberapa suku. Semakin tinggi derajat polinom, jelas semakin sukar
memfaktorkannya. Begitu juga
untuk menyelesaian sistem persamaan linear. Apabila sistem persamaannya hanya
berupa dua atau tiga garis lurus dengan dua atau tiga peubah, masih dapat
ditemukan solusinya (dalam hal ini titik potong kedua garis) dengan menggunakan
rumus titik potong dua buah garis. Titik potong tersebut juga dapat ditemukan
dengan menggambar kedua garis pada kertas grafik. Tetapi untuk sistem dengan
jumlah persamaan dan jumlah peubah lebih besar dari tiga, tidak ada rumus yang
dapat dipakai untuk memecahkannya.
Contoh-contoh ilustrasi di atas memperlihatkan
bahwa ada beberapa persoalan matematika yang tidak dapat diselesaikan dengan
metode analitik. Akan tetapi metode analitik unggul untuk sejumlah persoalan
yang memiliki tafsiran geometri sederhana. Misalnya menentukan akar
penyelesaian dari 
menggunakan rumus abc.
Padahal persoalan yang muncul dalam kehidupan sehari-hari tidak selalu dalam
bentuk sederhana tetapi sangat kompleks serta melibatkan bentuk dan proses yang
rumit. Akibatnya nilai praktis penyelesaian metode analitik menjadi terbatas.
Bila metode analitik tidak dapat lagi digunakan, maka salah satu solusi yang
dapat digunakan adalah dengan metode Numerik. Metode Numerik adalah
teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematika sehingga dapat
dipecahkan dengan operasi perhitungan atau aritmatika biasa (tambah, kurang,
kali, dan bagi) (Susy, 2006 : 3-5).
menggunakan rumus abc.
Padahal persoalan yang muncul dalam kehidupan sehari-hari tidak selalu dalam
bentuk sederhana tetapi sangat kompleks serta melibatkan bentuk dan proses yang
rumit. Akibatnya nilai praktis penyelesaian metode analitik menjadi terbatas.
Bila metode analitik tidak dapat lagi digunakan, maka salah satu solusi yang
dapat digunakan adalah dengan metode Numerik. Metode Numerik adalah
teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematika sehingga dapat
dipecahkan dengan operasi perhitungan atau aritmatika biasa (tambah, kurang,
kali, dan bagi) (Susy, 2006 : 3-5).
Penyelesaian secara numerik umumnya melibatkan proses iterasi,
perhitungan berulang dari data numerik yang ada. Jika proses iterasi tersebut
dilakukan secara manual, akan membutuhkan waktu yang relatif lama dan
kemungkinan timbulnya nilai kesalahan (error) akibat manusia itu sendiri
juga relatif besar. Misalnya untuk menyelesaikan persoalan persamaan non-linear
, jika diselesaikan menggunakan cara manual menggunakan
Metode Biseksi diperlukan beberapa iterasi. Untuk penyelesaian sampai tujuh
angka di belakang koma dapat terjadi iterasi sampai puluhan kali. Ini tentu
membutuhkan waktu yang relatif lama. Pada kenyataannya sering terjadi proses
iterasi sampai ratusan kali, pada keadaan demikian ini komputer sangat
dibutuhkan untuk mengurangi waktu penyelesaian (Munif, 1995 : 3). Selain mempercepat perhitungan numerik,
dengan komputer dapat dicoba berbagai kemungkinan solusi yang terjadi akibat
perubahan beberapa parameter tanpa menyita waktu dan pikiran. Solusi yang
diperoleh juga dapat ditingkatkan ketelitiannya dengan mengubah-ubah nilai
parameter (Susy, 2006 : 9).
, jika diselesaikan menggunakan cara manual menggunakan
Metode Biseksi diperlukan beberapa iterasi. Untuk penyelesaian sampai tujuh
angka di belakang koma dapat terjadi iterasi sampai puluhan kali. Ini tentu
membutuhkan waktu yang relatif lama. Pada kenyataannya sering terjadi proses
iterasi sampai ratusan kali, pada keadaan demikian ini komputer sangat
dibutuhkan untuk mengurangi waktu penyelesaian (Munif, 1995 : 3). Selain mempercepat perhitungan numerik,
dengan komputer dapat dicoba berbagai kemungkinan solusi yang terjadi akibat
perubahan beberapa parameter tanpa menyita waktu dan pikiran. Solusi yang
diperoleh juga dapat ditingkatkan ketelitiannya dengan mengubah-ubah nilai
parameter (Susy, 2006 : 9).
Persamaan linear jika digambarkan pada
sumbu kartesius berupa garis lurus. Sedangkan untuk persamaan non-linear jika
digambarkan pada sumbu kartesius berupa kurva (garis lengkung). Persamaan yang termasuk persamaan
non-linear adalah persamaan polinomial, persamaan eksponensial, persamaan
logaritmik, persamaan sinusoida, dan sebagainya (Munif, 1995 : 7). Sebagai
contoh misalnya terdapat persamaan : 
dengan daerah asal {x
| -2 £ x £ 6, x Î R}. Persamaan tersebut jika digambarkan
pada sumbu kartesius :
dengan daerah asal {x
| -2 £ x £ 6, x Î R}. Persamaan tersebut jika digambarkan
pada sumbu kartesius :
Dari gambar di atas terlihat jelas bahwa
persamaan jika digambarkan pada
sumbu kartesius berupa kurva. Jika dicari nilai x yang memenuhi persamaan
biasanya digunakan rumus abc, maka diperoleh x1 = 0 dan x2
= 4. Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan ini pada gambar terlihat jelas yaitu
titik potong garis dengan sumbu x.
jika digambarkan pada
sumbu kartesius berupa kurva. Jika dicari nilai x yang memenuhi persamaan
biasanya digunakan rumus abc, maka diperoleh x1 = 0 dan x2
= 4. Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan ini pada gambar terlihat jelas yaitu
titik potong garis dengan sumbu x.
Akan tetapi jika diilustrasikan untuk persamaan non-linear :
23,4x7 – 1,25x6 + 120x4 + 15x3
- 120x2 - x + 100 = 0 maka rumus abc sudah tidak berlaku lagi,
karena persamaan tersebut mempunyai pangkat yang lebih besar dari 2. Metode analitik tidak berlaku lagi karena
terlalu memakan banyak waktu, tenaga dan pikiran. Jalan yang paling efektif dan
efisien adalah dengan mengggunakan metode Numerik, karena hanya dengan beberapa
langkah saja sudah bisa didapatkan apa yang diinginkan.
Penyelesaian yang digunakan dalam metode
Numerik adalah penyelesaian pendekatan, oleh karena itu biasanya timbul
kesalahan (error). Pada penyelesaiannya diusahakan untuk mendapatkan error
yang sekecil mungkin. Langkah pertama yang dilakukan dalam penyelesaian
persamaan non-linear dengan menggunakan metode Biseksi dan metode Regula Falsi
adalah menetapkan nilai sebarang a sebagai batas atas dan nilai sebarang b
sebagai batas bawah kemudian ditentukan nilai fungsi f(x) untuk x = a dan x = b. Selanjutnya adalah memeriksa
apakah f(a).f(b) < 0, apabila terpenuhi syarat tersebut berarti akar fungsi
terdapat di antara a dan b. Jika tidak terpenuhi maka kembali harus menetapkan
nilai sebarang a dan b sedemikian rupa sehingga ketentuan perkalian terpenuhi
(Wibowo, 2007 : 1). Jika ketentuan perkalian terpenuhi maka selanjutnya adalah
menentukan titik c (titik di antara a dan b). Untuk metode Biseksi menggunakan
rumus 
sedangkan untuk metode
Regula Falsi menggunakan rumus 
. Langkah selanjutnya adalah mencari nilai c yang lain
sehingga didapat error yang kecil atau sama dengan nol.
sedangkan untuk metode
Regula Falsi menggunakan rumus . Langkah selanjutnya adalah mencari nilai c yang lain
sehingga didapat error yang kecil atau sama dengan nol.
Selain sederhana, metode Biseksi dan
metode Regula Falsi mempunyai beberapa kelebihan yaitu proses iterasi lebih
cepat, mudah untuk dibuat program dan tingkat kesalahan kecil. Untuk metode
yang menghasilkan error kecil maka metode tersebut lebih teliti
dibanding dengan metode lain. Dalam metode Numerik ada beberapa metode yang
dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan non-linear, diantaranya metode Tabulasi,
metode Biseksi, metode Regula Falsi, metode Iterasi bentuk x = g(x), metode Newton
Rapson, metode Faktorisasi (P3, P4, P5), metode
Bairstow dan metode Quotient-Difference
(Q-D) (Munif, 1995 : 8).
Berdasarkan uraian di atas, tujuan utama penelitian
ini adalah mempelajari penyelesaian persamaan non-linear menggunakan metode Biseksi
dan metode Regula Falsi Menggunakan Cara Komputasi serta mengetahui perbedaan
kecepatannya dalam menyelesaikan persamaan non-linear ditinjau dari banyaknya
iterasi.
B.
Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang tersebut di atas, maka permasalahan dalam
penelitian ini adalah :
1.
Bagaimana
penyelesaian persamaan non-linear menggunakan metode Biseksi dengan program
komputer.
2.
Bagaimana
penyelesaian persamaan non-linear menggunakan metode Regula Falsi dengan
program komputer
3.
Bagaimana
perbedaan kecepatan antara metode Biseksi dan metode Regula Falsi dalam
menyelesaikan persamaan non-linear ditinjau dari banyaknya iterasi.
C.
Pembatasan Masalah
Batasan masalah dalam penelitian ini adalah persamaan non-linear
dalam bentuk polinomial satu variabel.
D.
Tujuan Penelitian
Dengan adanya permasalahan yang muncul, maka tujuan dari penelitian
ini adalah :
1.
Membuat
program komputer untuk menyelesaikan persamaan non-linear menggunakan metode
Biseksi.
2.
Membuat
program komputer untuk menyelesaikan persamaan non-linear menggunakan metode
Regula Falsi.
3.
Mengetahui
perbedaan kecepatan antara metode Biseksi dan metode Regula Falsi dalam
menyelesaikan persamaan non-linear ditinjau dari banyaknya iterasi.
E.
Manfaat Penelitian
Ada beberapa manfaat yang diharapkan dari penelitian ini,
diantaranya adalah :
1.
Mengetahui
perbedaan kecepatan antara metode Biseksi dan metode Regula Falsi dalam
menyelesaikan persamaan non-linear ditinjau dari banyaknya iterasi.
2.
Memberi
masukkan bagi peneliti yang ingin mempelajari lebih jauh tentang metode Numerik.
BAB II
LANDASAN TEORI
A.
Persamaan Non-Linear
Persamaan merupakan kalimat terbuka yang
menyatakan hubungan “sama dengan” (ditulis “=”) (Alamsyah, 1994 : 61). Persamaan
Non-Linear adalah persamaan yang jika digambarkan dalam bidang kartesius
berbentuk garis tidak lurus (berbentuk kurva).
Persamaan yang termasuk persamaan non-linear adalah persamaan
polinomial, persamaan eksponensial, persamaan logaritmik, persamaan sinusoida,
dan sebagainya (Munif, 1995 : 7).
B.
Metode Numerik
Tidak semua permasalahan matematis atau
perhitungan dapat diselesaikan dengan mudah. Bahkan dalam prinsip matematik,
dalam memandang permasalahan yang terlebih dahulu diperhatikan apakah
permasalahan tersebut mempunyai penyelesaian atau tidak. Hal ini menjelaskan
bahwa tidak semua permasalahan dapat
diselesaikan dengan menggunakan perhitungan biasa.
|
Penyelesaian persamaan non-linear adalah
penentuan akar-akar persamaan non-linear. Dimana akar sebuah persamaan f(x) = 0
adalah nilai-nilai x yang menyebabkan nilai f(x) sama dengan nol. Dengan kata
lain akar persamaan f(x) adalah titik potong antara kurva f(x) dengan garis y =
0.
 |
Gambar 2. Penyelesaian Persamaan Non-Linear
(Amang, 2006 : 10)
C. Penyelesaian Persamaan Non-Linear
Menurut Munif,
A (1995 : 7) Persamaan y=f(x) dikatakan linear jika hubungan antara variabel x
dan nilai fungsi y jika digambarkan pada sumbu kartesian menunjukkan garis
lurus. Sedangkan yang tidak berbentuk garis lurus disebut persamaan non-linear.
Misalnya persamaan polinomial, persamaan sinusoida, persamaan eksponensial,
persamaan logaritmik dan sebagainya.
|
 |
|
|||
Gambar 3. Bentuk-bentuk Grafik Persamaan Linear
 |
|||||
|
 |
||||
Gambar 4. Bentuk-bentuk
Grafik Persamaan Non-Linear
1.
Metode Biseksi
Metode ini mempunyai ciri dimana area dibagi menjadi 2 bagian, dari
dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung akar dan bagian yang tidak
mengandung akar dibuang. Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar
persamaan.
|
Gambar 5.
Metode Biseksi
Cara
Penyelesaian dari Metode Biseksi
Langkah Pertama menyelesaikan persamaan
non-linear f(x) dengan metode Biseksi adalah menentukan dua titik f(x) awal
yaitu f(x1) dan f(x2) dan harus memenuhi hubungan f(x1).f(x2)
< 0.
Langkah Kedua adalah mencari nilai x3
dengan persamaan : 
kemudian mencari nilai
f(x3) nya.
kemudian mencari nilai
f(x3) nya.
Langkah Ketiga, melakukan iterasi untuk
mendapatkan akar persamaan. Jika
f(x1).f(x3) < 0 maka x2 diganti x3 dan akar terletak diantara x1
dan x3, tetapi jika f(x1).f(x3) > 0 maka x1
diganti x3 dan akar terletak diantara x2 dan x3.
2.
Metode Regula Falsi
Metode Regula Falsi adalah metode pencarian akar persamaan dengan
memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas range.
Gambar 6. Metode Regula Falsi
(Amang, 2006 : 16)
Cara Penyelesaian
Metode Regula Falsi :
Langkah Pertama, menentukan dua titik
f(x) awal, yaitu x1 dan x2 yang memenuhi persamaan f(x1).f(x2)
< 0.
Langkah Kedua, mencari nilai x3 dengan persamaan : 
kemudian dicari nilai f(x3)
nya.
Langkah Ketiga, melakukan iterasi untuk mendapatkan akar persamaan. Jika f(x1).f(x3) < 0 maka x2 diganti x3 dan akar
terletak diantara x1 dan x3, tetapi jika f(x1).f(x3)
> kemudian dicari nilai f(x3)
nya.
0 Komentar